Análise combinatória

O que é

Análise combinatória estuda como contar agrupamentos sem precisar listar um por um. O Princípio Fundamental da Contagem (PFC) diz que, se uma etapa pode ocorrer de m maneiras e outra etapa (independente) de n maneiras, as duas juntas ocorrem de m×n maneiras. A partir dele derivam-se três casos clássicos: permutação (organizar todos os n elementos, importando a ordem), arranjo (escolher e ordenar p elementos entre n, importando a ordem) e combinação (escolher p elementos entre n, sem importar a ordem).

Como funciona

Permutação simples: Pₙ = n! (n fatorial = n×(n−1)×...×2×1). Arranjo: A(n,p) = n! / (n−p)! - usa-se quando a ordem importa e os elementos não se repetem (ex.: 1º, 2º e 3º lugar de um pódio). Combinação: C(n,p) = n! / [p!·(n−p)!] - usa-se quando a ordem não importa (ex.: escolher um grupo de pessoas para uma comissão). Dica rápida para decidir entre arranjo e combinação: se trocar a ordem dos escolhidos gera um resultado diferente (times, senhas, pódios), é arranjo; se o resultado é o mesmo grupo independente da ordem (comissões, duplas sem função definida), é combinação.

Exemplos resolvidos

1. (PFC) Uma senha tem 2 letras seguidas de 3 dígitos. Quantas senhas diferentes existem (com repetição permitida)? Resolução: 26 × 26 × 10 × 10 × 10 = 676.000 senhas.
2. (Permutação) De quantas formas posso organizar 4 livros diferentes numa estante? Resolução: P₄ = 4! = 24 formas.
3. (Arranjo) Numa corrida com 5 competidores, de quantas formas o pódio (1º, 2º e 3º lugar) pode ser formado? Resolução: A(5,3) = 5!/(5−3)! = 5!/2! = 120/2 = 60 formas.
4. (Combinação) De quantos modos posso escolher uma comissão de 3 pessoas entre 8 candidatos? Resolução: C(8,3) = 8!/(3!·5!) = (8×7×6)/(3×2×1) = 336/6 = 56 formas.